Definiciones y notaciones

Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].

Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A [i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Ejemplo

La matriz

es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.

La matriz

Es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Suma de matrices

Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices

Asociativa

Dadas las matrices m-por-n A, B y C

A + (B + C) = (A + B) + C

  • Conmutativa

Dadas las matrices m-por-n A y B

A + B = B + A

  • Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A

  • Existencia de matriz opuesta

Con -A = [-aij]

A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar

Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:

Propiedades del Producto Escalar

Sean A y B matrices y c y d escalares.

  • Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
  • Asociatividad: (cd)A = c(dA)
  • Elemento Neutro: 1·A = A
  • Distributividad:
    • De escalar: c(A+B) = cA+cB
    • De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto de matrices

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:

Para cada par i y j.


Por ejemplo:

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas